Çarpanlar ve Katlar: Asal Çarpanlar, EBOB ve EKOK (LGS)

Konu Özeti

Bu konuda bir doğal sayının çarpanlarını, asal çarpanlarına ayırmayı ve iki sayının EBOB ile EKOK değerlerini öğreneceksin. Bu bilgiler kesirlerde sadeleştirme, eşit paylaştırma ve periyodik olayların birlikte gerçekleşme zamanını bulma sorularında sana yardımcı olur. Ayrıca iki sayının aralarında asal olup olmadığını belirlemeyi de öğreneceksin. LGS'de bu konu doğrudan ve problem içinde sık karşımıza çıkar.

Temel Kavramlar

Bir sayıyı kalansız bölen pozitif tam sayılara o sayının çarpanları (bölenleri) denir. 1'den büyük her doğal sayının en az iki çarpanı vardır: 1 ve kendisi. Çarpanları bulmak için sayıyı çarpımı kendisine eşit olan ikililer halinde yazarsın.

• 1 sayısının tek çarpanı 1'dir.
• Asal sayı: 1'den büyük ve yalnızca 1 ile kendisine bölünebilen sayıdır (2, 3, 5, 7, 11…). En küçük asal sayı 2'dir ve tek çift asal sayıdır.
• Bir sayıyı asal çarpanlarının çarpımı olarak yazmaya asal çarpanlarına ayırma denir.
• Bölünebilme kuralları: 2 (son rakam çift), 3 (rakamlar toplamı 3'ün katı), 5 (son rakam 0 veya 5), 9 (rakamlar toplamı 9'un katı), 10 (son rakam 0).

36 = 2² × 3²

Çarpan sayısını bulmak için asal çarpanlarındaki üslerin her birine 1 ekleyip bu sayıları çarparsın. 36 = 2² × 3² için (2+1)·(2+1) = 9 çarpan vardır: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

EBOB, iki sayının ortak bölenlerinin en büyüğüdür. EKOK ise iki sayının ortak katlarının en küçüğüdür. İkisini de asal çarpanlarına ayırarak bulursun.

• EBOB: Ortak asal çarpanların en küçük üsleri çarpılır.
• EKOK: Ortak olan ve olmayan tüm asal çarpanların en büyük üsleri çarpılır.

Hangi değeri kullanacağını anlamak için soruya bak. Eşit gruplara ayırma, en fazla sayıda parça ya da en büyük kare bulma gibi sorularda EBOB kullanılır. Birlikte yeniden aynı anda buluşma, ortak tekrar eden olaylar gibi sorularda EKOK kullanılır.

EBOB(a, b) × EKOK(a, b) = a × b

İki sayının EBOB'u 1 ise bu sayılara aralarında asal sayılar denir. Yani bu iki sayının 1'den başka ortak pozitif böleni yoktur.

EBOB(a, b) = 1 ⇔ a ve b aralarında asaldır

• Aralarında asal iki sayının kendisi asal olmak zorunda değildir: 8 ve 15 aralarında asaldır.
• İki farklı asal sayı her zaman aralarında asaldır (3 ve 7).
• Ardışık iki doğal sayı her zaman aralarında asaldır (14 ve 15).
• Aralarında asal sayıların EKOK'u çarpımlarına eşittir: EKOK(8, 15) = 120.