Doğrusal Denklemler: Denklem, Koordinat, Grafik ve Eğim (LGS)

Konu Özeti

Doğrusal denklemler, iki değişken arasındaki düzenli ilişkiyi anlatır ve hayatın birçok yerinde karşımıza çıkar. Bu konuda birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözmeyi, koordinat sistemini ve sıralı ikilileri öğreneceksin. Ardından bu ilişkileri tablo ve grafikle gösterip eğimle yorumlayacaksın. LGS'de bu konu hem cebir hem grafik sorularında çıkar.

Temel Kavramlar

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem: Bilinmeyenin kuvveti 1 olan denklemdir. Çözerken eşitliğin iki tarafına aynı işlem uygulanır (toplama, çıkarma, aynı sayıyla çarpma veya bölme). Amaç bilinmeyeni yalnız bırakmaktır.

• Parantez varsa önce dağıtım yapılır.
• Benzer terimler (x'li ve sayılı terimler) toplanır.
• x'li terimler bir tarafta, sayılar diğer tarafta toplanır; terim eşitliğin öbür tarafına geçerken işareti değişir.
• Katsayıya bölünerek x bulunur.
• Sonuç denklemde yerine konup kontrol edilir.

ax + b = c ⇒ x = (c − b) / a (a ≠ 0)

Koordinat sistemi: Birbirine dik iki sayı doğrusundan oluşur. Yatay eksen x (apsis), düşey eksen y (ordinat) eksenidir; kesişim noktası O(0, 0) orijindir.

• Sıralı ikili (a, b) biçiminde yazılır; ilk bileşen x, ikinci bileşen y'dir. Sıra önemlidir: (2, 3) ≠ (3, 2).
• Eksenler düzlemi 4 bölgeye ayırır: I. bölge (+, +), II. bölge (−, +), III. bölge (−, −), IV. bölge (+, −).
• x ekseni üzerindeki noktaların y'si 0'dır: (a, 0). y ekseni üzerindeki noktaların x'i 0'dır: (0, b).

Temel Kavramlar

Doğrusal ilişki: İki değişkenden biri değişirken diğeri sabit oranda artıyor ya da azalıyorsa aralarındaki ilişki doğrusaldır. Bağımsız değişken x, ona bağlı değişken y ile gösterilir ve ilişki y = ax + b biçiminde yazılır.

Tabloda x her 1 arttığında y sabit olarak 2 artmaktadır. Bu sabit değişim doğrusal ilişkinin işaretidir. x arttıkça y artıyorsa ilişki artan, azalıyorsa azalan bir ilişkidir.

Doğru grafiği: y = ax + b denkleminin grafiği bir doğrudur. Doğru çizmek için en az iki nokta yeterlidir; üçüncü nokta kontrol için alınabilir.

• x için uygun değerler seçilir, y değerleri hesaplanıp tablo yapılır.
• Sıralı ikililer koordinat sisteminde işaretlenir.
• Noktalar birleştirilir ve doğru iki yönde uzatılır.
• x = 0 için y, y eksenini; y = 0 için x, x eksenini kestiği noktayı verir.

Eğim: Doğrunun yatay eksene göre dikliğidir. İki nokta arasında düşey değişimin yatay değişime oranıdır.

Eğim = düşey değişim / yatay değişim = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

• y = ax + b denkleminde x'in katsayısı a, doğrunun eğimidir.
• a > 0 ise doğru yukarı doğru artar; a < 0 ise azalır; a = 0 ise doğru x eksenine paraleldir (y = b).
• Eğim büyüdükçe doğru daha diktir.
• Doğru y eksenini (0, b) noktasında keser.