Üçgenler: Yardımcı Elemanlar, Eşitsizlik, Kenar-Açı İlişkisi, Çizim ve Pisagor

Konu Özeti

Üçgenler, geometrinin temel yapı taşlarıdır ve çevremizdeki birçok şeklin temelinde yer alır. Bu konuda üçgenin yardımcı elemanlarını, kenarlar arasındaki eşitsizliği ve kenar-açı ilişkisini öğreneceksin. Ayrıca üçgen çizimini ve dik üçgenlerde Pisagor bağıntısını kullanarak kenar hesabını kavrayacaksın. LGS'de bu konudan çoğunlukla eşitsizlik, açı-kenar ilişkisi ve Pisagor soruları çıkar.

Temel Kavramlar

Yardımcı elemanlar: Bir üçgende bir köşeden karşı kenara çizilen üç özel doğru parçası vardır. Aşağıdaki tabloda tanımlarını ve çizim yollarını inceleyebilirsin.

• Her üçgende 3 kenarortay, 3 açıortay ve 3 yükseklik vardır.
• Üç kenarortay bir noktada kesişir; bu nokta ağırlık merkezidir.
• Üç iç açıortay bir noktada kesişir; bu nokta iç teğet çemberin merkezidir.
• Dik üçgende dik kenarlar birbirinin yüksekliğidir.
• Geniş açılı üçgende dar açılı köşelerden inen yükseklikler karşı kenarın uzantısına düşer ve üçgenin dışında kalır.
• İkizkenar üçgende tabana ait yükseklik, kenarortay ve açıortay aynı doğru parçasıdır.

Üçgen eşitsizliği: Bir üçgende herhangi bir kenar, diğer iki kenarın uzunlukları farkının mutlak değerinden büyük, toplamından küçüktür.

|b − c| < a < b + c

Örnek: Kenarları 7 cm ve 4 cm olan üçgenin üçüncü kenarı x olsun. 7 − 4 < x < 7 + 4 olduğundan 3 < x < 11 olur. x tam sayı ise 4, 5, ..., 10 değerlerini alır; yani 7 farklı değer vardır. Çevre en az 7 + 4 + 4 = 15, en çok 7 + 4 + 10 = 21 cm olur.

Kenar-açı ilişkisi: Bir üçgende büyük açının karşısındaki kenar daha uzundur; küçük açının karşısındaki kenar daha kısadır.

m(A) > m(B) ⇔ a > b

• Eşit açıların karşısındaki kenarlar eşittir (ikizkenar üçgen).
• En uzun kenar en büyük açının, en kısa kenar en küçük açının karşısındadır.
• Üçgenin iç açıları toplamı 180° dir.
• Bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

Üçgen çizimi: Bir üçgenin çizilebilmesi için yeterli sayıda elemanın ölçüsü bilinmelidir. Aşağıdaki üç durum temel çizim yollarıdır.

Sık yapılan hata: 3 cm, 4 cm ve 8 cm kenarlı üçgen çizilemez, çünkü 3 + 4 < 8 dir. İki açısının toplamı 180° veya daha fazla olan üçgen de çizilemez. Yalnızca üç açı verilirse boyut belirlenmediği için tek bir üçgen çizilemez.

Pisagor bağıntısı: Dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüsün (dik açının karşısındaki en uzun kenarın) uzunluğunun karesine eşittir.

a² + b² = c² (c: hipotenüs)

• Sık kullanılan Pisagor üçlüleri: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25).
• Bu üçlülerin katları da üçlüdür: (6, 8, 10), (9, 12, 15) gibi.
• Kenarları a² + b² = c² sağlayan üçgen diktir.
• Kenarlar için c² > a² + b² ise üçgen geniş açılı, c² < a² + b² ise dar açılıdır (c en uzun kenar).