Dik Üçgen ve Trigonometri (TYT-AYT Geometri)

Konu Özeti

Dik üçgen, geometrinin ve trigonometrinin temel yapı taşıdır. Bu notta Pisagor ve Öklid bağıntıları ile dar açıların trigonometrik oranları ele alınır. Son bölümde birim çember üzerinde trigonometrik oranların koordinatlarla nasıl bulunduğu gösterilir. Konu hem TYT hem AYT'de sık sorulur, bol örnek çözmek önemlidir.

Temel Kavramlar

Dik üçgende dik açının karşısındaki kenara hipotenüs, diğer iki kenara dik kenar denir. Hipotenüs en uzun kenardır. Pisagor teoremine göre dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir.

a² + b² = c² (c: hipotenüs)

• Sık kullanılan Pisagor üçlüleri: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25).
• Üçlülerin katları da üçlüdür: (6, 8, 10), (9, 12, 15), (10, 24, 26).
• Bir üçgende a² + b² = c² ise üçgen c karşısında dik açılıdır.
• Kenarları 1, 1, √2 olan üçgen 45°-45°-90° üçgenidir; kenarları 1, √3, 2 olan üçgen 30°-60°-90° üçgenidir.

A açısı dik olan ABC üçgeninde A köşesinden BC hipotenüsüne inilen dikmenin ayağı H olsun. BH = p, HC = k, AH = h, AB = c, AC = b, BC = a olsun. Bu durumda p + k = a olur.

h² = p · k

c² = p · a ve b² = k · a

b · c = a · h (alan eşitliğinden)

Dar Açıların Trigonometrik Oranları

Dik üçgende dar açılardan birine (α) göre karşı dik kenar, komşu dik kenar ve hipotenüs belirlenir. Oranlar bu kenarlarla tanımlanır.

sin α = karşı / hipotenüs

cos α = komşu / hipotenüs

tan α = karşı / komşu cot α = komşu / karşı

• tan α = sin α / cos α
• sin²α + cos²α = 1
• Tümler açılarda: sin α = cos(90° − α) ve tan α = cot(90° − α).
• Dar açılarda 0 < sin α < 1 ve 0 < cos α < 1.

Birim Çember

Merkezi orijinde, yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember denir; denklemi x² + y² = 1'dir. Pozitif x ekseninden saat yönünün tersine ölçülen α açısının bitim kolunun birim çemberi kestiği nokta P(x, y) ise trigonometrik oranlar bu koordinatlarla bulunur.

cos α = x (P'nin apsisi), sin α = y (P'nin ordinatı)

tan α = y / x (x ≠ 0)

• x² + y² = 1 olduğundan sin²α + cos²α = 1 her açıda geçerlidir.
• −1 ≤ sin α ≤ 1 ve −1 ≤ cos α ≤ 1.
• İşaretler: 1. bölgede hepsi (+); 2. bölgede yalnız sin (+); 3. bölgede yalnız tan (+); 4. bölgede yalnız cos (+).
• 0°: (1, 0) noktası; sin 0° = 0, cos 0° = 1. 90°: (0, 1); sin 90° = 1, cos 90° = 0.