Üçgenin Alanı: Formüller, Oranlar ve Çözümlü Örnekler

Konu Özeti

Üçgenin alanı, geometrinin TYT ve AYT'de en sık karşılaşılan konularından biridir. Taban ve yükseklik bilgisi, iki kenar ile aradaki açı ya da üç kenar gibi farklı verilere göre farklı formüller kullanılarak bulunur. Bu notta temel formülleri, alan oranlarını ve sınavda işe yarayan kısa yolları birlikte göreceksin. Doğru formülü seçmek çoğu sorunun anahtarıdır.

Temel Kavramlar

Üçgenin alanı, bir kenar uzunluğu ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Yükseklik, köşeden karşı kenara (veya uzantısına) indirilen dikmedir. Geniş açılı üçgende yükseklik üçgenin dışına düşebilir.

A = (a · h) / 2

• Dik üçgende dik kenarlar birbirinin yüksekliğidir: A = (a · b) / 2.
• Eşkenar üçgende kenar a ise: A = a²√3 / 4.
• İki kenar ve aralarındaki açı verilirse: A = (1/2) · a · b · sin C.
• Üç kenar verilirse (Heron): A = √[u(u−a)(u−b)(u−c)], u = (a+b+c)/2.
• Çevresi 2u olan üçgende iç teğet çember yarıçapı r ise: A = u · r.
• Çevrel çember yarıçapı R ise: A = (a · b · c) / (4R).

Alan oranları, soruların en kısa çözümünü sağlar. Ortak yükseklik ya da ortak taban fark edildiğinde uzun hesap yapmaya gerek kalmaz.

• Yükseklikleri eşit üçgenlerin alanları oranı, tabanları oranına eşittir.
• Tabanları eşit üçgenlerin alanları oranı, yükseklikleri oranına eşittir.
• Bir kenara paralel doğru üzerindeki köşelerde alan değişmez.
• Kenarortay üçgeni alanı eşit iki parçaya böler; üç kenarortay alanı eşit altı parçaya ayırır.
• Ağırlık merkezi G ise A(ABG) = A(BCG) = A(ACG) = A(ABC)/3.
• İki üçgen benzerse alanlar oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.
• Bir açısı eşit ya da bütünler iki üçgende alanlar oranı, o açıyı oluşturan kenarların çarpımları oranına eşittir.
• Açıortay, karşı kenarı komşu kenarlar oranında böler; oluşan iki üçgenin alanları da bu oranda olur.

A(ABD) / A(ADC) = |BD| / |DC| (D, BC üzerinde)

Benzerlik oranı k ise: A₁ / A₂ = k²