Üçgenin Yardımcı Elemanları (TYT-AYT Geometri Notu)

Konu Özeti

Üçgende açıortay, kenarortay, kenar orta dikme ve yükseklik gibi yardımcı doğrular, köşeleri ve kenarları kullanarak özel noktalar oluşturur. Bu noktaların her biri belirli bir özelliğe sahiptir. Bu özellikler çevrel ve iç teğet çember konularının da temelini oluşturur. TYT'de temel soruların, AYT'de ise çember ve üçgen problemlerinin çözümünde sık kullanılırlar.

Temel Kavramlar

Açıortay (9.4.3.1). Bir açıyı iki eş açıya ayıran ışına açıortay denir. Üçgende iç açıortaylar tek bir noktada kesişir; bu nokta iç teğet çemberin merkezidir (I) ve üçgenin içindedir.

• Açıortay üzerindeki her nokta, açının kollarına eşit uzaklıktadır.
• İç açıortay teoremi: A köşesinden çizilen iç açıortay BC'yi D'de keserse BD/DC = AB/AC olur.
• İç açıortay uzunluğu: AD² = AB·AC − BD·DC.
• İki iç açıortayın oluşturduğu açı: m(BIC) = 90° + A/2.
• Dış açıortaylar: İki dış açıortay ile üçüncü köşenin iç açıortayı bir noktada kesişir; bu nokta dış teğet çemberin merkezidir ve üçgenin dışındadır.
• İç ve dış açıortay birbirine diktir (90°).
• İki dış açıortayın oluşturduğu açı: m(BI_aC) = 90° − A/2.

BD / DC = AB / AC (iç açıortay teoremi)

Kenarortay (9.4.3.2). Bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına kenarortay denir. Üç kenarortay üçgenin içinde bir noktada kesişir; bu nokta ağırlık merkezidir (G).

• Ağırlık merkezi her kenarortayı köşeden itibaren 2:1 oranında böler: AG = 2·GD.
• Bir kenarortay üçgeni alanları eşit iki üçgene ayırır.
• Üç kenarortay üçgeni alanları eşit altı küçük üçgene ayırır.
• Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir: AD = BC/2 (A = 90°).

AG : GD = 2 : 1 ve Alan(ABG) = Alan(BCG) = Alan(CAG) = Alan(ABC) / 3

Kenar orta dikme (9.4.3.3). Bir kenarın orta noktasından geçen ve o kenara dik olan doğruya kenar orta dikme denir. Bir doğru parçasının orta dikmesi üzerindeki her nokta, parçanın uç noktalarına eşit uzaklıktadır.

Üç kenar orta dikme bir noktada (O) kesişir; bu nokta çevrel çemberin merkezidir. Neden kesişir? O, AB ve BC'nin orta dikmeleri üzerindeyse OA = OB ve OB = OC olur. Buradan OA = OC bulunur, yani O üçüncü kenarın orta dikmesi üzerindedir.

• Dar açılı üçgende O üçgenin içindedir.
• Dik üçgende O hipotenüsün orta noktasıdır.
• Geniş açılı üçgende O üçgenin dışındadır.
• Çevrel çemberde merkez açı: m(BOC) = 2·m(A), A dar açı ise geçerlidir.

Yükseklik (9.4.3.4). Bir köşeden karşı kenara (veya uzantısına) indirilen dikmeye yükseklik denir. Üç yükseklik (veya uzantıları) bir noktada kesişir; bu nokta diklik merkezidir (H). Konumu üçgenin çeşidine bağlıdır.

• Dar açılı üçgende H üçgenin içindedir ve m(BHC) = 180° − m(A).
• Dik açılı üçgende H, dik açının köşesindedir.
• Geniş açılı üçgende H ve O üçgenin dışındadır; yükseklik kenarın uzantısına düşer.
• Eşkenar üçgende yükseklik, kenarortay, açıortay ve kenar orta dikme çakışır; I, G, O, H aynı noktadır.
• İkizkenar üçgende tabana ait dört eleman çakışır.

h = a√3 / 2 (eşkenar üçgende, a: kenar uzunluğu)