klevero

Çok yakında

10. Sınıf Matematik

Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar, Özdeşlikler ve Üçgende Alan

Geometrik Şekiller · 10. sınıf

Klevi Matematik Atölyesi · Klevero ekibi · yapay zekâ destekli · Güncellendi:

Kazanımlar

  • MAT.10.1.1 Dik üçgende trigonometrik oranlara ve trigonometrik özdeşliklere ilişkin çıkarım yapabilme
  • MAT.10.1.2 Üçgenin yardımcı elemanlarının özellikleri ile ilgili çıkarım yapabilme
  • MAT.10.1.3 Üçgenin bir kenarı ve o kenara ait yüksekliğinin değişimine bağlı olarak alanının değişimine…
  • MAT.10.1.4 Sinüs ve kosinüs teoremlerini doğrulayabilme veya ispatlayabilme

Konu Özeti

Bu konuda dik üçgende bir dar açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant oranlarını öğreneceksin. Bu oranlar arasındaki temel özdeşlikleri de kullanmayı göreceksin. Ardından üçgenin yardımcı elemanlarını, alan değişimini ve sinüs-kosinüs teoremlerini inceleyeceksin. Bu konu geometri ve trigonometri sorularının büyük kısmında temel araçtır.

Temel Kavramlar

Dik üçgende bir dar açı θ için karşı dik kenar, komşu dik kenar ve hipotenüs tanımlanır. Oranlar yalnızca açıya bağlıdır, üçgenin büyüklüğüne bağlı değildir.

sin θ = karşı / hipotenüs, cos θ = komşu / hipotenüs

tan θ = karşı / komşu, cot θ = komşu / karşı

Dik üçgen ve θ açısı
A köşesinde dik açı vardır. B köşesindeki θ için karşı kenar AC, komşu kenar AB, hipotenüs BC'dir.
Açı30°45°60°
sin1/2√2/2√3/2
cos√3/2√2/21/2
tan√3/31√3
cot√31√3/3
  • Dar açılarda sin ve cos değerleri 0 ile 1 arasındadır.
  • sin(90° − θ) = cos θ ve tan(90° − θ) = cot θ olur.

Pisagor bağıntısı a² + b² = c² ifadesini c² ile bölersek temel özdeşliği elde ederiz. Tanım bağıntıları ile bu özdeşlik birlikte kullanılır.

sin²θ + cos²θ = 1

tan θ = sin θ / cos θ, cot θ = cos θ / sin θ, tan θ · cot θ = 1

Üçgenin yardımcı elemanları şunlardır:

  • Yükseklik: köşeden karşı kenara (veya uzantısına) indirilen dikmedir. Üç yükseklik diklik merkezinde kesişir.
  • Kenarortay: köşeyi karşı kenarın orta noktasına bağlar. Ağırlık merkezi her kenarortayı köşeden itibaren 2:1 oranında böler.
  • Açıortay: açıyı iki eş açıya böler. Üç iç açıortay iç teğet çemberin merkezinde kesişir.
  • Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir.
  • İç açıortay teoremi: |BD|/|DC| = |AB|/|AC| olur.

Üçgende alan, taban ve o tabana ait yüksekliğe bağlıdır.

Alan = (taban · yükseklik) / 2

  • Taban sabitken yükseklik k katına çıkarsa alan da k katına çıkar.
  • Taban k, yükseklik m katına çıkarsa alan k · m katına çıkar.
  • Yüksekliği ortak olan üçgenlerde alanlar oranı taban oranına eşittir.

Sinüs ve kosinüs teoremleri genel üçgenlerde kenar ve açı ilişkisi kurar. R, çevrel çemberin yarıçapıdır.

Sinüs teoremi: a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R

Kosinüs teoremi: a² = b² + c² − 2bc·cosA

Alan = (1/2)·b·c·sinA = (1/2)·a·c·sinB = (1/2)·a·b·sinC

Hatırlatma: A = 90° ise cos 90° = 0 olduğundan kosinüs teoremi Pisagor teoremine dönüşür.

Notun devamı (Klevero uygulamasında)

  • Adım Adım Örnekler
  • Sık Yapılan Hatalar
  • Mini Özet Tablo
  • Kontrol Soruları