Üçgende Yardımcı Elemanlar, Alan, Sinüs ve Kosinüs Teoremleri

Konu Özeti

Bu konuda dik üçgende trigonometrik oranları ve temel özdeşlikleri öğreneceksin. Ardından üçgenin kenarortay, açıortay ve yükseklik gibi yardımcı elemanlarının özelliklerini inceleyeceğiz. Üçgenin alanının bir kenar ve o kenara ait yüksekliğe bağlı değişimini de göreceksin. Son olarak sinüs ve kosinüs teoremlerini doğrulayıp uygulamayı öğreneceksin.

Temel Kavramlar

Dik üçgende trigonometrik oranlar

B köşesi dik olan ABC dik üçgeninde α, A açısı olsun. α'ya göre karşı dik kenar BC, komşu dik kenar AB, hipotenüs AC'dir.

sin α = karşı / hipotenüs ; cos α = komşu / hipotenüs

tan α = karşı / komşu ; cot α = komşu / karşı

• Dik üçgende iki dar açı birbirinin tümleyenidir: α + β = 90°.
• Tümler açılar: sin(90° − α) = cos α ve tan(90° − α) = cot α.
• Dar açılar için 0 < sin α < 1 ve 0 < cos α < 1 olur.

Trigonometrik özdeşlikler

sin²α + cos²α = 1

tan α = sin α / cos α ; cot α = cos α / sin α ; tan α · cot α = 1

Birinci özdeşlik Pisagor bağıntısından çıkar: karşı² + komşu² = hipotenüs² eşitliğinin her iki yanı hipotenüs²'ye bölünür.

Üçgenin yardımcı elemanları

Kenarortay

• Bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasıdır.
• Üç kenarortay tek noktada kesişir. Bu noktaya ağırlık merkezi denir.
• Ağırlık merkezi her kenarortayı köşeden başlayarak 2:1 oranında böler. Köşeye uzaklığı kenarortayın 2/3'ü, kenara uzaklığı 1/3'üdür.
• Bir kenarortay üçgeni alanları eşit iki üçgene ayırır.
• Dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu hipotenüsün yarısına eşittir.

Açıortay

• İç açıortay üzerindeki her nokta, açının kollarına eşit uzaklıktadır.
• Üç iç açıortay iç teğet çemberin merkezinde kesişir.
• İç açıortay teoremi: A açısının açıortayı BC'yi D'de keserse |BD| / |DC| = |AB| / |AC| olur.

Yükseklik ve kenar orta dikme

• Yükseklik, bir köşeden karşı kenara (veya uzantısına) indirilen dik doğru parçasıdır. Üç yükseklik tek noktada kesişir.
• Kenar orta dikmeler çevrel çemberin merkezinde kesişir.
• Çevrel çemberin merkezi üç köşeye eşit uzaklıktadır.

Alan ve yükseklik ilişkisi

Alan = (taban · yükseklik) / 2

• Taban sabitken yükseklik k katına çıkarsa alan da k katına çıkar.
• Yükseklik sabitken taban k katına çıkarsa alan da k katına çıkar.
• Taban k katına, yükseklik m katına çıkarsa alan k·m katına çıkar.
• Tabanları ve yükseklikleri eşit üçgenlerin alanları eşittir. Köşesi tabana paralel bir doğru üzerinde kaydırılırsa alan değişmez.
• Yükseklikleri aynı olan üçgenlerin alanları oranı, tabanları oranına eşittir.

Alan = (1/2) · a · b · sin C

Sinüs ve kosinüs teoremleri

Sinüs teoremi: a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R (R: çevrel çember yarıçapı)

Kosinüs teoremi: a² = b² + c² − 2bc · cos A

Sinüs teoremi: A köşesinden BC'ye inen yükseklik h ise h = c · sin B = b · sin C olur. Buradan b / sin B = c / sin C elde edilir. Kosinüs teoremi için C'den AB'ye inen yükseklik h ve ayağı H alınır; Pisagor'dan a² = h² + (c − b · cos A)² = b² + c² − 2bc · cos A bulunur.

• İki açı ve bir kenar verildiğinde sinüs teoremi kullanılır.
• İki kenar ve aradaki açı, ya da üç kenar verildiğinde kosinüs teoremi kullanılır.
• A = 90° için cos A = 0 olur ve kosinüs teoremi Pisagor bağıntısına dönüşür.