Sinüs ve Kosinüs Teoremleri Konu Notu (10. Sınıf)

Konu Özeti

Bu konuda üçgenlerin kenar ve açıları arasındaki ilişkileri öğreneceksin. Dik üçgende trigonometrik oranlar, üçgenin yardımcı elemanları ve alan formülü sinüs ve kosinüs teoremlerinin temelini oluşturur. Sinüs teoremi, iki açı ile bir kenar ya da iki kenar ile karşı açı bilindiğinde; kosinüs teoremi ise iki kenar ile aralarındaki açı ya da üç kenar bilindiğinde işe yarar. Bu iki teoremi doğru seçmek, konunun en önemli becerisidir.

Temel Kavramlar

Dik üçgende bir dar açı α için karşı kenar α'nın karşısındaki dik kenar, komşu kenar ise α'ya komşu olan dik kenardır. Trigonometrik oranlar aşağıdaki gibi tanımlanır.

sin²α + cos²α = 1 ve tan α = sin α / cos α

• Bu özdeşlik Pisagor bağıntısından çıkar: karşı² + komşu² = hipotenüs² eşitliğinin her iki tarafı hipotenüs²'ye bölünür.
• tan α · cot α = 1 eşitliği her dar açı için geçerlidir.
• Tümler açılar: sin(90° − α) = cos α ve cos(90° − α) = sin α.
• Önemli açılar: sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2.

Temel Kavramlar (devam)

Üçgenin yardımcı elemanları şunlardır: yükseklik, kenarortay, açıortay. Yükseklik bir köşeden karşı kenara (veya uzantısına) inen dik doğru parçasıdır. Kenarortay bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına bağlar, açıortay ise bir açıyı iki eş parçaya böler.

• Üç kenarortay ağırlık merkezinde kesişir ve her kenarortay ağırlık merkezinden köşeye doğru 2:1 oranında bölünür.
• Üç iç açıortay iç teğet çemberin merkezinde kesişir.
• Üç yükseklik ise ortomerkez adı verilen noktada kesişir.

ABC üçgeninde kenarlar a = BC, b = AC, c = AB ile gösterilir ve R çevrel çemberin yarıçapıdır. Aşağıdaki şekilde kenar ve köşe isimlendirmesi görülmektedir.

Sinüs teoremi: a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R

Kosinüs teoremi: a² = b² + c² − 2bc · cos A

• Sinüs teoremi; iki açı ve bir kenar veya iki kenar ile bu kenarların birinin karşı açısı verildiğinde kullanılır.
• Kosinüs teoremi; iki kenar ile aralarındaki açı veya üç kenar verildiğinde kullanılır.
• A = 90° ise cos A = 0 olur ve kosinüs teoremi Pisagor teoremine dönüşür.
• Kosinüs teoreminden açı bulmak için: cos A = (b² + c² − a²) / (2bc).

Kosinüs teoreminin kısa ispatı (A ve C dar açı varsayımıyla): B'den AC'ye yükseklik inersin. Dik üçgenlerde AH = c·cos A ve BH = c·sin A olur, HC = b − c·cos A kalır. Pisagor'u BHC üçgenine uygularsan a² = c²·sin²A + (b − c·cos A)² = b² + c² − 2bc·cos A bulunur.

Alan = (1/2) · b · c · sin A (iki kenar ve aralarındaki açı)