Fonksiyonların Dönüşümleri: Öteleme, Yansıma ve Mutlak Değer

Konu Özeti

Bir fonksiyonun grafiği biliniyorsa öteleme, yansıma, mutlak değer ve ölçekleme gibi dönüşümlerle yeni grafikler elde edilebilir. Bu sayede g(x) grafiğini baştan noktalayarak çizmek yerine f(x) grafiğinden yola çıkarak tahmin edebilirsin. Temel ilke şudur: x ile birlikte yapılan değişiklik yatay yönü, f(x) ile birlikte yapılan değişiklik düşey yönü etkiler. Yatay dönüşümler ilk bakışta ters görünse de birkaç örnekle hızla alışılır.

Temel Kavramlar

y = f(x) grafiğinden dönüşümlerle yeni grafikler elde edilir. Dışarıda (f(x) ile birlikte) yapılan işlemler düşey yönde, içeride (x ile birlikte) yapılan işlemler yatay yönde etki eder.

Öteleme (a > 0, b > 0)

Nokta kuralı: (x, y) noktası y = f(x − a) + b grafiğinde (x + a, y + b) noktasına gider. Örneğin (1, 4) noktası, y = f(x − 2) + 3 grafiğinde (3, 7) olur.

Yansıma (Simetri)

Mutlak Değerli Dönüşümler

• y = |f(x)|: f(x) grafiğinin x ekseninin altında kalan kısmı x eksenine göre yukarı yansıtılır, üst kısım aynen kalır. Grafik hiçbir zaman x ekseninin altına inmez.
• y = f(|x|): x ≥ 0 için f grafiği aynen alınır, x < 0 kısmı silinir ve x > 0 kısmının y eksenine göre simetriği çizilir. Grafik y eksenine göre simetriktir.
• y = |f(|x|)|: önce f(|x|) çizilir, sonra x ekseninin altında kalan kısım yukarı yansıtılır.

Eksen Boyunca Ölçekleme (Genişleme ve Daralma)

• y = k·f(x), k > 1: grafik düşey yönde k kat uzar; x eksenini kestiği noktalar değişmez.
• y = k·f(x), 0 < k < 1: grafik düşey yönde daralır; x eksenini kestiği noktalar yine aynıdır.
• y = f(kx), k > 1: grafik yatay yönde 1/k oranında sıkışır; y eksenini kestiği nokta değişmez.
• y = f(kx), 0 < k < 1: grafik yatay yönde 1/k kat genişler.

Genel dönüşüm: y = a·f(b(x − c)) + d → (x, y) noktası (x/b + c, a·y + d) noktasına gider