Trigonometrik Fonksiyonlar: Birim Çember, Teoremler ve Grafikler

Konu Özeti

Trigonometrik fonksiyonlar, açıların ve kenar uzunluklarının ilişkisini inceleyen fonksiyonlardır. Bu konuda birim çemberle tanımlanan sinüs, kosinüs ve tanjant ile bunların grafikleri öğrenilir. Ayrıca üçgenlerde kosinüs ve sinüs teoremleri ile ters trigonometrik fonksiyonlar ele alınır. AYT'de hem işlem hem grafik yorumu sorularında bu bilgiler sık kullanılır.

Temel Kavramlar

Merkezi orijinde ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember denir. Pozitif x ekseninden saat yönünün tersine ölçülen α açısının bitim kolu çemberi P(x, y) noktasında keser. Bu noktada cos α = x ve sin α = y olur.

sin²α + cos²α = 1 ; tan α = sin α / cos α ; cot α = cos α / sin α

• Değer aralığı: -1 ≤ sin α ≤ 1 ve -1 ≤ cos α ≤ 1; tan ve cot tüm reel sayıları alır.
• cos α = 0 iken (α = 90° + k·180°) tan α tanımsızdır.
• sin α = 0 iken (α = k·180°) cot α tanımsızdır.
• Açı ölçüsü: π radyan = 180°. Dönüşüm: derece × π/180 = radyan.

Bölgeye taşıma ve temel eşitlikler: aşağıdaki kurallar, dar açı cinsinden değerleri bulmamızı sağlar.

• sin(-α) = -sin α ; cos(-α) = cos α ; tan(-α) = -tan α
• sin(180° - α) = sin α ; cos(180° - α) = -cos α
• sin(180° + α) = -sin α ; cos(180° + α) = -cos α ; tan(180° + α) = tan α
• sin(360° - α) = -sin α ; cos(360° - α) = cos α
• sin(90° - α) = cos α ; cos(90° - α) = sin α
• sin(90° + α) = cos α ; cos(90° + α) = -sin α

İpucu: sin 150° = sin(180° - 30°) = 1/2 olduğu için sinüs değeri aynı kalır; kosinüs ve tanjant işaretleri ise bölgeye göre belirlenir.

Özel açıların değerleri:

Kosinüs teoremi (11.1.2.2): ABC üçgeninde kenarlar a, b, c ve karşılarındaki açılar A, B, C ile gösterilir. İki kenar ile aralarındaki açı ya da üç kenar verildiğinde kullanılır.

a² = b² + c² - 2bc·cos A ; cos A = (b² + c² - a²) / (2bc)

Sinüs teoremi (11.1.2.3): Bir açı ile karşısındaki kenar biliniyorsa ve başka bir açı ya da kenar isteniyorsa kullanılır. R, üçgenin çevrel çemberinin yarıçapıdır.

a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R

Trigonometrik fonksiyon grafikleri (11.1.2.4):

y = a·sin(bx + c) + d : genlik |a|, periyot 2π/|b|, düşey kayma d, yatay kayma -c/b

• y = a·sin(bx + c) + d ve y = a·cos(bx + c) + d için en büyük değer |a| + d, en küçük değer -|a| + d olur.
• y = a·tan(bx + c) + d için periyot π/|b| olur.
• Grafik çizerken önce periyot ve genlik bulunur, sonra bir periyottaki başlangıç, çeyrek ve yarı noktaları işaretlenir.

Ters trigonometrik fonksiyonlar (11.1.2.5): Trigonometrik fonksiyonlar periyodik olduğundan bire bir değildir. Ters fonksiyon tanımlamak için tanım kümesi uygun bir aralıkla sınırlanır.