Karmaşık Sayılar: a + bi Biçimi

Konu Özeti

Karesi -1 olan sayıya sanal birim denir ve i ile gösterilir. Bu sayede gerçek sayılarda çözümü olmayan denklemler de çözülebilir hale gelir. Her karmaşık sayı a + bi biçiminde yazılır; a reel kısım, b ise sanal kısımdır. Bu notta bu biçimi, eşitliği ve i'nin kuvvetlerini adım adım öğreneceksin.

Temel Kavramlar

i² = -1 olacak şekilde tanımlanan i sayısına sanal birim denir. Karmaşık sayılar kümesi ℂ ile gösterilir ve ℝ kümesi ℂ'nin içindedir.

z = a + bi (a, b ∈ ℝ, i² = -1)

• a: z'nin reel kısmı, Re(z) = a
• b: z'nin sanal kısmı, Im(z) = b (i katsayısıdır, i'yi içermez)
• b = 0 ise z = a reel sayıdır
• a = 0 ve b ≠ 0 ise z = bi saf sanal sayıdır
• z = 0 + 0i = 0 hem reel hem sanal kısmı sıfır olan sayıdır

Negatif sayıların karekökünü almak için önce i'yi dışarı çekeriz. a > 0 için √(-a) = i·√a yazılır.

√(-a) = i·√a (a > 0)

i'nin kuvvetleri dört adımda tekrar eder: i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1. Bu yüzden iⁿ için n'nin 4'e bölümünden kalana bakılır.

Dikkat: √(-4)·√(-9) = √36 = 6 yazmak yanlıştır. Doğrusu: 2i · 3i = 6i² = -6. Kök içi negatifken √a·√b = √(ab) kuralı kullanılamaz; önce i dışarı alınmalıdır.