İkinci Dereceden Fonksiyonlar ve Grafikleri (AYT Notu)

Konu Özeti

İkinci dereceden fonksiyonlar f(x) = ax² + bx + c biçiminde yazılan ve grafikleri parabol olan fonksiyonlardır. Bu konuda parabolün kollarının yönünü, tepe noktasını ve eksenleri kesme durumlarını öğreneceksin. Grafik yorumlama ile birlikte en büyük ve en küçük değer içeren gerçek hayat problemlerini de çözeceksin. AYT’de bu konu hem grafik sorularında hem de optimizasyon problemlerinde karşına çıkar.

Temel Kavramlar

f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0, a, b, c ∈ ℝ) biçimindeki fonksiyonların grafiği paraboldür. a > 0 ise kollar yukarı, a < 0 ise kollar aşağı doğrudur. |a| büyüdükçe parabol daralır.

r = −b/(2a), k = f(r) = −Δ/(4a), Δ = b² − 4ac

• Tepe noktası: T(r, k), r = −b/(2a) ve k = f(r)
• Simetri ekseni: x = r = −b/(2a)
• y eksenini kesme noktası: (0, c)
• x eksenini kesme noktaları: ax² + bx + c = 0 denkleminin kökleri
• Diskriminant: Δ = b² − 4ac

Δ’ya göre x eksenine göre durum

Katsayıların işaretlerini yorumlama

• a: kolların yönünü belirler (a > 0 yukarı, a < 0 aşağı).
• c: y eksenini kestiği noktanın ordinatıdır; c > 0 ise kesişim eksenin üstündedir.
• b: tepe noktasının apsisi r = −b/(2a) için işaretine bakılır; a ve b aynı işaretliyse tepe y ekseninin solunda, zıt işaretliyse sağındadır.
• Δ: x eksenini kesme durumunu (kök sayısını) verir.

Diğer önemli biçimler

• Tepe noktası biçimi: f(x) = a(x − r)² + k
• Kök biçimi: f(x) = a(x − x₁)(x − x₂); simetri ekseni r = (x₁ + x₂)/2
• Kökler toplamı x₁ + x₂ = −b/a, çarpımı x₁·x₂ = c/a
• Parabolün y = mx + n doğrusuyla kesişimi: ax² + bx + c = mx + n denkleminin Δ’sı kesişim sayısını verir (Δ > 0: 2 nokta, Δ = 0: teğet, Δ < 0: kesişmez)
• Grafik x = r doğrusuna göre simetriktir: f(r + t) = f(r − t)

Modelleme adımları

• Değişkeni belirle ve diğer büyüklükleri onun cinsinden yaz.
• İstenen büyüklük için f(x) = ax² + bx + c fonksiyonunu kur.
• a’nın işaretine göre en büyük ya da en küçük değerin varlığını belirle.
• r = −b/(2a) ile değişkenin değerini, k = f(r) ile en büyük ya da en küçük değeri bul.
• Sonucun tanım kümesine uygun olduğunu kontrol et.

Kapalı aralıkta [m, n] en büyük ve en küçük değer için yalnızca tepe noktasına değil, uç noktalara da bakılır. Tepe noktasının apsisi aralığın dışındaysa değerler yalnızca uç noktalarda aranır.